Nuevos avances en la cuadratura del círculo

En torno al año 450 a.C., Anaxágoras de Clazómenas dispuso de algo de tiempo para pensar. El matemático griego estaba en prisión por afirmar que el Sol no era un dios, sino una roca incandescente tan grande como la península del Peloponeso. El filósofo, que creía que «la razón gobierna el mundo», aprovechó su encarcelamiento para abordar un problema matemático que hoy es famoso, la cuadratura del círculo: ¿es posible obtener un cuadrado de igual área que un círculo dado usando un compás y una regla?

Sorprendentemente, los matemáticos aún trabajan en esa cuestión, y están realizando avances. Un artículo publicado en el repositorio arXiv a principios de año por Andras Máthé y Oleg Pikhurko, de la Universidad de Warwick, y Jonathan Noel, de la Universidad de Victoria, es el último en sumarse a esta antigua tradición. Los autores muestran cómo cuadrar un círculo cortándolo en trozos que se pueden visualizar y quizá hasta dibujar, un resultado que tiene sus raíces en una larga historia.

La pregunta, tal y como la planteó Anaxágoras, quedó resuelta en 1882, cuando el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que es imposible cuadrar el círculo con herramientas clásicas. En concreto, probó que pi (el área de un círculo con radio 1) es un tipo especial de número denominado «trascendente», una categoría donde también se incluye el número de Euler e. Dado que un resultado previo había demostrado que es imposible usar un compás y una regla para construir una longitud igual a un número trascendente, también es imposible cuadrar un círculo de esa manera.

Ese podría haber sido el final de la historia, pero, en 1925, Alfred Tarski modificó las reglas del problema y le insufló nueva vida. El matemático polaco se preguntó si se podía llevar a cabo la tarea dividiendo un círculo en un número finito de piezas que pudieran moverse en un plano hasta formar con ellas un cuadrado de igual área, una estrategia conocida como equidecomposición.

En otras palabras, dos objetos son equidescomponibles si pueden dividirse en trozos del mismo tamaño y forma o, siendo más precisos, «si se pueden dividir en un número finito de partes, de tal modo que las partes correspondientes sean congruentes entre sí», detalla Pikhurko.

Un artículo de 1964 fue el primero en realizar un progreso sustancial en la versión de Tarski del problema. Los autores demostraron que tal equidecomposición no podía llevarse a cabo con tijeras: la tarea, en caso de ser posible, requeriría piezas fractales más complicadas, plagadas de agujeros y bordes intrincadamente irregulares.

Y así siguieron las cosas hasta 1990, cuando Miklós Laczkovich respondió a la pregunta de Tarski con un rotundo «sí»: un círculo podía reorganizarse en un cuadrado.

Para visualizar el logro de Laczkovich, imaginemos un círculo y un cuadrado que están en una misma página, uno al lado del otro. El matemático demostró que si el círculo se dividía en un máximo de 1050 piezas, todas ellas complicadas y de formas extrañas, era posible mover esas piezas (sin ni siquiera girarlas) hasta recubrir por completo el cuadrado.

Pero, para llegar a ese resultado, Laczkovich no trabajó con formas, sino que transformó el problema geométrico en uno de teoría de grafos. Tomó un gran grafo con dos conjuntos independientes de vértices —uno correspondiente a un círculo y otro a un cuadrado— y estableció correspondencias biunívocas (uno a uno) entre los vértices de un conjunto y los del otro.

Stan Wagon, matemático del Colegio Macalester, califica los resultados de «asombrosos». Laczkovich demostró cómo «tomar un espacio circular y hacerlo recto».

Sin embargo, había una pega. Lo que halló Laczkovich era una prueba de existencia, lo que los matemáticos denominan «no constructiva»: demostró que se podía hacer, pero no nos enseñó cómo construir las piezas, ni pudo describirlas de ninguna manera. Peor aún, las piezas son «no medibles», lo que significa que es imposible determinar su área.

El siguiente gran avance no llegó hasta varios decenios después, gracias a un artículo publicado en enero de 2016 por Łukasz Grabowski, Máthé y Pikhurko. Su prueba, a diferencia de la de Laczkovich, es casi totalmente constructiva, lo que quiere decir que casi todas las piezas están bien definidas. Pero, de nuevo, había un problema: esas piezas bien definidas del círculo no llenan todo el cuadrado, sino que se siguen necesitando piezas adicionales para cubrir una pequeña porción del cuadrilátero. Esa porción es tan diminuta que no tiene área, y los matemáticos se refieren a ella como un «conjunto de medida nula».

Esa prueba «se ocupa de casi todo el espacio», señala Andrew Marks, matemático de la Universidad de California en Los Ángeles. Ni siquiera se pueden dibujar las piezas que faltan, destaca, ya que el conjunto parecería invisible.

A pesar de que faltaban esas piezas adicionales, el resultado constituyó un avance espectacular, según Marks. «Encontraron una forma de cuadrar el círculo que funcionaba en casi todas partes, en todas excepto en un conjunto de medida nula.»

Marks, junto con Spencer Unger, que ahora trabaja en la Universidad de Toronto, llevó a cabo otra importante mejora un año después, al proporcionar la primera prueba totalmente constructiva de la cuadratura del círculo, una que funciona en todas partes, sin excepción. Su artículo ofrece una descripción completa de todas las piezas necesarias para cuadrar el círculo. «Sus piezas son mejores», concede Máthé. «Ellos no tienen ese feo conjunto de área cero.»

Dicho lo cual, la nueva prueba implicaba aún más piezas, alrededor de 10200, y estas seguían siendo bastante complicadas. «El inconveniente de nuestro trabajo», admite Marks, «es que, aunque las piezas estén definidas de forma explícita desde el punto de vista matemático, resulta muy complicado visualizarlas».

Eso dejaba un cierto margen de mejora, y Máthé, Noel y Pikhurko lo han aprovechado. Sus piezas, que vuelven a ser unas 10200, tienen una forma más sencilla y son mucho más fáciles de visualizar para los matemáticos.

«El gran avance es que las piezas que concebimos Spencer y yo no podían dibujarse de una manera sencilla, pero con estas piezas sí podemos hacerlo», subraya Marks.

Sin embargo, la historia no acaba aquí. «Todavía hay que hacer más matemáticas» sobre este problema, asegura Alexander Kechris, matemático del Instituto de Tecnología de California. «Es un proceso.»

Pikhurko ya tiene ideas para simplificar aún más las piezas, reduciendo su número total y haciéndolas menos irregulares. Y Marks ha realizado experimentos informáticos que sugieren —pero no prueban— que la equidecomposición se puede lograr con 22 piezas. Y cree probable que el número mínimo sea aún menor.

«Me apostaría una cerveza a que se puede cuadrar el círculo, de forma demostrable, con menos de 20 piezas», afirma. «Pero no me jugaría 1000 dólares.»

Steve Nadis/Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con el permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión pública de la ciencia.

Referencia: «Circle squaring with pieces of small boundary and low Borel complexity», András Máthé, Jonathan A. Noel y Oleg Pikhurko en arXiv:2202.01412 [math.MG], 3 de febrero de 2022.

Fuente: Investigación y ciencia es

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